Геометрическая прогрессия онлайн калькулятор

Коротко о главном Начальный уровень

Геометрическая прогрессия. Коротко о главном.

Геометрическая прогрессия {} — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессииможет принимать любые значения, кроме  и .

• Если , то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны;
• если , то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
• при – прогрессия называется бесконечно убывающей.

Уравнение членов геометрической прогрессии — .

Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или 

Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:

Комментарии

Геометрическая прогрессия

Он называется геометрической прогрессией последовательность из ≥ нулевых чисел, причем каждый член начинается с другого, равного предыдущему выражению, умноженного на одно и то же число.

Таким образом, Геометрическая прогрессия числовая последовательность, определяемая соотношениями

bn + 1 = bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

q является знаменателем продвижения

Это геометрическая последовательность повышение, если b1 > 0, q > 1

Например, 1, 3, 9, 27, 81, ….

Это геометрическая последовательность уменьшается, если b1 > 0, 0 < Q < 1

К примеру, 

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · qn-1

Характерная особенность геометрической прогрессии.

Численная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию, только если квадрат каждого члена, за исключением первого (и, наконец, если конечная последовательность) равен произведению предыдущего и последующих членов.

BN2 = bn-1 · b n + 1

Сумма n первых членов Геометрическая прогрессия

Сумма n первых членов, то же самое бесконечно уменьшается геометрическая прогрессия

Основные определения и данные для геометрической прогрессии суммированы в одной таблице:

Определение геометрической прогрессии	bn + 1 = bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
Позиционер геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии	bn = b1 · qn-1
Сумма первых выражений геометрической прогрессии
Характерная особенность геометрической прогрессии	bn2 = bn-1 · bn + 1

Пример 1.

Геометрическая прогрессия задается b1, b2, b3, …, bn, …

Геометрическая прогрессия

Известно, что b1 = 2/3, q = -3. Найти b6

Решение. В этом случае решение основано на формуле n-го члена геометрической прогрессии.

Если в этой формуле заменить n = 6, получим:

b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3) 5 = -162

Ответ -162.

Пример 2.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3, …

решение

b1 = 12, b2 = 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 — 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3/2 = 18

Ответ 18.

Пример 3.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

решение

150 = b1 / (1 / 1/3)

b1 = 150 · 2/3

b1 = 100

Ответ: 100.

Геометрическая прогрессия Является ли числовая последовательность b1, b2, …, bn, …, которая применяется к каждому натуральному n следующего уравнения:

где q — знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, … представляет собой геометрическую прогрессию с imenomator q = 4.

Дизайнер определяет форму геометрическая прогрессия:

1. Если q > 0, то все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же характер, уравнение b1Primer: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, … с знаменателем q = 2.
2. Если q < 0, затем меняются признаки геометрической прогрессии
   Пример: последовательность чисел 2, -6, 18, -54, 162, …

   Онлайн калькуляторы для расчета прогрессии.

   с знаменателем q = -3.

3. Если -1 < Q < 1, геометрическая прогрессия бесконечно уменьшается
   Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, … с знаменателем q = 0,5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Позиционер геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия может быть рассчитана с использованием текущего и следующих условий геометрической прогрессии:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-го члена геометрической прогрессии относительно первого слагаемого и знаменателя:

Следующее выражение геометрической прогрессии можно найти из предыдущего термина и знаменателя:

Предыдущее выражение геометрической прогрессии можно найти из следующего выражения и знаменателя:

Также можно найти элемент геометрической прогрессии, если известны следующие и предыдущие термины:

bn = √bn-1 ⋅ bn + 1, где n равно > 1

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q), где q ≠ 1

Он также может быть рассчитан с использованием другой формулы:

Sn = (b1 — bn ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1

Решение проблем в геометрической прогрессии

Рассмотрим несколько типичных задач геометрической прогрессии.

Задача 1:

В зависимости от геометрической прогрессии 3, 6, 12, …. Найдите 8-й член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

решение:

b1 = 3

q = 6/3 = 2

b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅27 = 3 ⋅ 128 = 384

S10 = B1 ⋅ (1 — Q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1-1024) / (-1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Задача 2:

Номер 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, …

. Найдите свой номер.

решение:

Если мы используем формулу для вычисления n-го члена геометрической прогрессии, мы можем получить n:

486 = 2 ⋅ 3n — 1

243 = 3n-1

35 = 3n-1

n-1 = 5

n = 6

Ответ: 6

Задача 3:

Сумма первых членов геометрической прогрессии равна -93.

b1 = -3, q = 2. Найдите n.

решение:

Чтобы вычислить число геометрических прогрессий, мы можем использовать формулу для ее суммы:

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)

-93 = -3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)

-93 = -3 ⋅ (1 — 2n) / (-1)

-31 = 1 — 2n

2n = 32

n = 5

Ответ: 5

Сумма членов геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (обычно обозначаемая как — B1, B2, B3, …), причем каждый последующий член получается путем умножения предыдущего указанного числа, называемого прогрессией и обозначаемого буквой q. В этом случае первое выражение продвижения, равно как и знаменатель, должно быть ничем.

Найти выражение геометрической прогрессии по формуле:

{b_n = b_1 \ cdot q ^ {n-1}}

В этом случае выделяются три примера:

1. если b1 и q больше нуля, то прогрессия возрастает;
2. если q меньше нуля, но больше 1, то прогрессия уменьшается;
3. если q<0, то такое продвижение называется альтернативным.

Характерная особенность геометрической прогрессии.

{| b_n | = \ sqrt {b_ {n-1} \ cdot b_ {n + 1}}}

Сумма членов геометрической прогрессии

находит одну из формул:

{S_n = \ frac {b_1-b_1 \ cdot q ^ n} {l-q}}

{S_n = \ frac {b_1 \ cdot {1-q ^ n}} {l-q}}

На нашем сайте вы можете найти количество участников в Интернете.

Произведение первых членов геометрической прогрессии

{P_n = (b_1 \ cdot b_n) ^ \ frac {n} {2}}

Продукт всех условий (от k-го до n-го)

{P_ {k, n} = \ frac {P_n} {P_ {k-1}}}

Примеры геометрической прогрессии

Одним из классических примеров геометрической прогрессии является серия, состоящая из двух возможных степеней:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …

В этом случае первый член равен b1 = 2, знаменатель прогрессии q = 2

Ваш рейтинг

[Рейтинги: 24 В среднем: 3.3]

Что такое геометрическая прогрессия по среднему рейтингу mnogofof 3,3 / 5 — 24 пользовательских рейтинга

Количество просмотров на странице: 333

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число.

Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей.

Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию.

Начнем для понимания с простейших.

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3.

Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные.

Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24.

Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

Пример 3.

Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными.

Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам.

Геометрическая прогрессия

Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы: